| Titre : | Utilisation du calcul tensoriel dans les géométries riemanniennes : cours et exercices corrigés | | Type de document : | texte imprimé | | Auteurs : | Claude Jeanperrin, Auteur | | Editeur : | Paris : Ellipses | | Année de publication : | 2000 | | Collection : | Universités. Physique | | Importance : | 224 p. | | Présentation : | ill., couv. ill. en coul. | | Format : | 26 cm | | ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-7298-4915-3 | | Prix : | 23,10 € | | Note générale : | Bibliogr. p. 220. Résumés | | Langues : | Français (fre) | | Mots-clés : | Géométrie de Riemann Manuels d'enseignement supérieur | | Index. décimale : | 516.076 JEA | | Résumé : | Le passage de la " géométrie unique et universelle " (compilée par Euclide trois siècles avant J-C) à des géométries différentes mais tout aussi logiques, s'est fait sur un plan théorique notamment grâce aux travaux de Lobatchevski, Bolyai, et Riemann, au XIXe siècle. Ces chercheurs ne se doutaient pas que leur " construction de l'esprit " deviendrait un des outils de la révolution que la physique allait connaître un quart de siècle plus tard, notamment avec Einstein et la relativité générale. Ces nouvelles géométries " bizarres ", maintenant qualifiées de riemanniennes, entraient dans le domaine pratique et devenaient indispensables à l'étude cosmologique, puisque la géométrie euclidienne apparaissait comme une approximation locale non valable à l'échelle de l'Univers. Mais les géométries riemanniennes trouvent aussi des applications dans des domaines plus " terre à terre " comme l'optique des milieux continus, ou l'étude des surfaces courbes en ingénierie mécanique. Malheureusement, faute de temps et de place dans les programmes d'enseignement de la physique, leur étude est souvent escamotée, et les étudiants de ces disciplines doivent se contenter d'un " digest " de recettes à admettre, portant sur les notions fondamentales de courbure, de géodésiques et autres, lesquelles restent souvent bien floues dans les esprits. Le présent livre se propose alors de faire découvrir les particularités de ces géométries inhabituelles, à petites doses, de façon progressive, en essayant d'en faire apparaître le pourquoi, et en prenant garde aux généralisations trop hâtives, " allant de soi ", mais débouchant parfois sur des idées fausses. Un petit voyage est prévu, à ce propos, dans la fameuse " cinquième dimension ". Même si ces géométries sont nées sans faire appel à la notion de tenseur, le formalisme tensoriel s'est rapidement imposé comme outil particulièrement élégant et efficace au cours de leur développement. Il faut toutefois se rappeler que cette efficacité est en grande partie liée à l'ingéniosité d'un système de notation des indices, lié à leur variance (notation d'Einstein), dont l'usage n'est malheureusement pas encore partout entré dans les mÅ“urs. Bien entendu, il en est fait systématiquement usage dans ce livre. Et la maîtrise d'un outil s'acquérant essentiellement par la pratique, des exercices, implicitement ou explicitement orientés vers les applications citées plus haut, ont été prévus à cet effet. | | Note de contenu : | Sommaire:
REFORMULATION DE LA GEOMETRIE CLASSIQUE DANS LA LANGAGE TENSORIELNotion de métrique
Propriétés de tenseur métrique
LE PASSAGE DES GEOMETRIES PSEUDO-EUCLIDIENNESDeux exemples de géométries différentes
Espaces euclidiens et pseudo-euclidiens
Propriétés de la métrique d'un espace ponctuel pseudo-euclidien
Recherches de bases orthogonales
Normalisation d'une base orthogonale
Signature de l'espace R ou E
Réduction du produit scalaire à un sous-espace vectoriel
Expression des coefficients de Christoffel
LES GEOMETRIES RIEMANNIENNESLes espaces ponctuels de Riemann
Essai de développement d'un espace de Riemann sur un espace pseudo-euclidien, notion de courbure
Les géodésiques dans un espace de Riemann
Variation d'un tenseur et intégration le long d'une courbe
LA CINQUIEME DIMENSION : SCIENCE-FICTION OU REALITE ? Question philosophique, physique et mathématique
Formulation mathématique d'un problème
Les étapes de la Recherche
Détermination de X (n + 1)
Détermination de Xi
Existence des solutions en fonction de n.
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Utilisation du calcul tensoriel dans les géométries riemanniennes : cours et exercices corrigés [texte imprimé] / Claude Jeanperrin, Auteur . - [S.l.] : Paris : Ellipses, 2000 . - 224 p. : ill., couv. ill. en coul. ; 26 cm. - ( Universités. Physique) . ISBN : 978-2-7298-4915-3 : 23,10 € Bibliogr. p. 220. Résumés Langues : Français ( fre) | Mots-clés : | Géométrie de Riemann Manuels d'enseignement supérieur | | Index. décimale : | 516.076 JEA | | Résumé : | Le passage de la " géométrie unique et universelle " (compilée par Euclide trois siècles avant J-C) à des géométries différentes mais tout aussi logiques, s'est fait sur un plan théorique notamment grâce aux travaux de Lobatchevski, Bolyai, et Riemann, au XIXe siècle. Ces chercheurs ne se doutaient pas que leur " construction de l'esprit " deviendrait un des outils de la révolution que la physique allait connaître un quart de siècle plus tard, notamment avec Einstein et la relativité générale. Ces nouvelles géométries " bizarres ", maintenant qualifiées de riemanniennes, entraient dans le domaine pratique et devenaient indispensables à l'étude cosmologique, puisque la géométrie euclidienne apparaissait comme une approximation locale non valable à l'échelle de l'Univers. Mais les géométries riemanniennes trouvent aussi des applications dans des domaines plus " terre à terre " comme l'optique des milieux continus, ou l'étude des surfaces courbes en ingénierie mécanique. Malheureusement, faute de temps et de place dans les programmes d'enseignement de la physique, leur étude est souvent escamotée, et les étudiants de ces disciplines doivent se contenter d'un " digest " de recettes à admettre, portant sur les notions fondamentales de courbure, de géodésiques et autres, lesquelles restent souvent bien floues dans les esprits. Le présent livre se propose alors de faire découvrir les particularités de ces géométries inhabituelles, à petites doses, de façon progressive, en essayant d'en faire apparaître le pourquoi, et en prenant garde aux généralisations trop hâtives, " allant de soi ", mais débouchant parfois sur des idées fausses. Un petit voyage est prévu, à ce propos, dans la fameuse " cinquième dimension ". Même si ces géométries sont nées sans faire appel à la notion de tenseur, le formalisme tensoriel s'est rapidement imposé comme outil particulièrement élégant et efficace au cours de leur développement. Il faut toutefois se rappeler que cette efficacité est en grande partie liée à l'ingéniosité d'un système de notation des indices, lié à leur variance (notation d'Einstein), dont l'usage n'est malheureusement pas encore partout entré dans les mÅ“urs. Bien entendu, il en est fait systématiquement usage dans ce livre. Et la maîtrise d'un outil s'acquérant essentiellement par la pratique, des exercices, implicitement ou explicitement orientés vers les applications citées plus haut, ont été prévus à cet effet. | | Note de contenu : | Sommaire:
REFORMULATION DE LA GEOMETRIE CLASSIQUE DANS LA LANGAGE TENSORIELNotion de métrique
Propriétés de tenseur métrique
LE PASSAGE DES GEOMETRIES PSEUDO-EUCLIDIENNESDeux exemples de géométries différentes
Espaces euclidiens et pseudo-euclidiens
Propriétés de la métrique d'un espace ponctuel pseudo-euclidien
Recherches de bases orthogonales
Normalisation d'une base orthogonale
Signature de l'espace R ou E
Réduction du produit scalaire à un sous-espace vectoriel
Expression des coefficients de Christoffel
LES GEOMETRIES RIEMANNIENNESLes espaces ponctuels de Riemann
Essai de développement d'un espace de Riemann sur un espace pseudo-euclidien, notion de courbure
Les géodésiques dans un espace de Riemann
Variation d'un tenseur et intégration le long d'une courbe
LA CINQUIEME DIMENSION : SCIENCE-FICTION OU REALITE ? Question philosophique, physique et mathématique
Formulation mathématique d'un problème
Les étapes de la Recherche
Détermination de X (n + 1)
Détermination de Xi
Existence des solutions en fonction de n.
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